%\section{Algorithmus zum Finden des Bestromungswinkels $\beta_\+{I}$}

In diesem Abschnitt wird erläutert, wie aus den Eingangsgrößen des Programms und damit den Ausgabegrößen des Leistungsanalysators der Bestromungswinkel $\beta_\+{I}$ bestimmt werden kann. Da der Bestromungswinkel vom Frequenzumrichter vorgegeben wird, besteht für den Leistungsanalysator ohne Kenntnis der Maschinenparameter keine Möglichkeit diesen zu bestimmen. 

Aus der Messung sind betragsmäßig folgende Größen bekannt: $U_\+{s}$, $I_\+{s}$, $n$ und $\cos(\varphi)$. Aus der bisherigen Auswertung, einer FEM-Simulation oder einer Rechnung sind folgende Maschinenparameter bekannt: $L_\+{d}$, $L_\+{q}$, $R_\+{s}$, $p$ und $k_\+{Up}$. Mit $k_\+{Up}$ und $n$ kann direkt auf den Betrag der induzierte Spannung $U_\+{p}$ geschlossen werden.

In der folgenden Herleitung ist der Bestromungswinkel $\beta_\+{I}$ als derjenige Winkel definiert, der zwischen d-Achse und dem Stromzeiger im mathematisch positiven Sinn gezählt wird. Der Winkel $\varphi$ wird von $\underline{I}_\+{s}$ nach $\underline{U}_\+{s}$ gezählt. Abbildung \ref{winkel} verdeutlicht die Winkellagen.
\begin{figure}[htb]
	\centering
  \includegraphics[width=0.5\textwidth]{auswertung_last/Winkellagen.png}
	\caption{Definition der Winkellagen im dq-Koordinatensystem}
	\label{winkel}
\end{figure}
Nach \cite{binder_bibel} gelten für die PM-Synchronmaschine im dq-Koordinatensystem folgende Gleichungen:
\begin{equation}
U_\+{sd}=R_\+{s}I_\+{sd}-X_\+{q}I_\+{sq}
\label{eq:fb1}
\end{equation}
\begin{equation*}
U_\+{sq}=R_\+{s}I_\+{sq}-X_\+{d}I_\+{sd}+U_\+{p}
\label{eq:fb2}
\end{equation*}
Nach Einsetzen der definierten Winkel folgt:
\begin{equation}
U_\+{s} \cos(\beta_\+{I}+\varphi)=R_\+{s}I_\+{s}\cos(\beta_\+{I})-X_\+{q}I_\+{s}\sin(\beta_\+{I})
\label{eq:fb3}
\end{equation}
\begin{equation*}
U_\+{s}\sin(\beta_\+{I}+\varphi)=R_\+{s}I_\+{s}\sin(\beta_\+{I})-X_\+{d}I_\+{s}\cos(\beta_\+{I})+U_\+{p}
\label{eq:fb4}
\end{equation*}
Nach Anwenden von Additionstheoremen ergibt sich:
\begin{equation}
U_\+{s} \cos(\beta_\+{I})\cos(\varphi)-\sin(\beta_\+{I})\sin(\varphi)=R_\+{s}I_\+{s}\cos(\beta_\+{I})-X_\+{q}I_\+{s}\sin(\beta_\+{I})
\label{eq:fb5}
\end{equation}
\begin{equation*}
U_\+{s} \cos(\beta_\+{I})\sin(\varphi)+\sin(\beta_\+{I})\cos(\varphi)=R_\+{s}I_\+{s}\sin(\beta_\+{I})-X_\+{d}I_\+{s}\cos(\beta_\+{I})+U_\+{p}
\label{eq:fb6}
\end{equation*}
Nach Sortieren ensteht das folgende lineare Gleichungssystem:
\begin{equation}
\left( \begin{matrix}
U_\+{s} \cos(\varphi)-R_\+{s}I_\+{s} & -U_\+{s} \sin(\varphi)+X_\+{q}I_\+{s} \\
U_\+{s} \sin(\varphi)-X_\+{d}I_\+{s} & U_\+{s} \cos(\varphi)-R_\+{s}I_\+{s} 
\end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix}
\cos(\beta_\+{I})\\
\sin(\beta_\+{I}) 
\end{matrix} \right)=
\left( \begin{matrix}
0 \\
U_\+{p} 
\end{matrix} \right)
\label{eq:fb7}
\end{equation}
Über den Arkuskosinus und den Arkussinus ergeben sich zwei Lösungen für den Bestromungswinkel $\beta_\+{I}$. Abbildung \ref{arc_func} zeigt die Zusammenhänge. Über folgende Beziehungen kann der Winkel dann eindeutig bestimmt werden:
\begin{equation}
\beta_\+{I}=\arccos(\cos(\beta_\+{I})) \quad \+{für} \quad \arcsin(\sin(\beta_\+{I}))>0
\label{eq:fb8}
\end{equation}
\begin{equation*}
\beta_\+{I}=360\+{°}-\arccos(\cos(\beta_\+{I})) \quad \+{für} \quad \arcsin(\sin(\beta_\+{I}))<0
\label{eq:fb9}
\end{equation*}
\newpage
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
	x tick label style={/pgf/number format/.cd,%
          ytick={-90, -45, 0, 45,  90, 135,  180},
					xtick={0, 90, 180,  270,  360},
         set thousands separator={},
         fixed},
	ylabel=$\beta_\+{I,berechnet}$ in °,	
	xlabel=$\beta_\+{I}$ in °,
	%xunit=\metre\per\second, %This doesn't do what I want
	%y unit=\si{\metre\per\second}, %This does, but I don't want to type "\si{...}"
	%axis x line = bottom,
	%axis y line = left,
	xmin = 0, xmax = 360,
	ymin = -95, ymax = 185,
	axis equal=false,
	grid=major,	
	legend pos=south west,
	height = 8cm,
	width = 0.8\textwidth]
	\legend{arccos(cos($\beta_\+{I}$)), arcsin(sin($\beta_\+{I}$))}
	%\addplot table {m_calc.txt};
	\addplot [style = solid,blue] table {auswertung_last/aco.txt};
	\addplot [style=	dashdotted, black] table {auswertung_last/asi.txt};
	%\addplot[style = solid] coordinates{(0,4) (1316,10.01)};
	% M = 4 + n*0.004568
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Arkusfunktionen}
\label{arc_func}
\end{center}
\end{figure}